Actividades Stomachion
 

Todos los puzzles citados tienen una buena aplicación educativa, pues el mero hecho de realizar figuras obliga a manejar conceptos de equivalencia de áreas, simetrías, descomposición de una figura en piezas menores, suma de longitudes, etc.

A lo largo de los siglos XIX y XX muchas personas se han dedicado a crear tangram de todo tipo, como por ejemplo el conocido creador de juegos norteamericano Sam Loyd. Por ello puede llegar a pensarse que estos puzzles geométricos son relativamente recientes; sin embargo, eso no es cierto.

Este es el rompecabezas más antiguo (del tipo tangram) del que se tiene referencia escrita, y cuyo autor no es otro que el conocido matemático griego Arquímedes. Se le conoce por Stomachion (en los textos griegos), Syntemachion o Loculus de Arquímedes (en los textos latinos).

Entre todos los trabajos de Arquímedes, el Stomachion ha sido al que menos atención se le ha prestado.Todo el mundo pensaba que era un rompecabezas para niños,por lo que no tenía ningún sentido ni se encontraba explicación que interesara a un hombre como él.

 

Aplicación didáctica

 

Lo interesante es cómo utilizar este puzzle en clase. En primer lugar es interesante hacer una pequeña introducción histórica, sobre todo de su creador, Arquímedes, insistiendo en la importancia que daba a aplicar la matemática

para resolver los problemas de la vida cotidiana (aunque en su época lo cotidiano fuese ser invadido por los romanos).

Como ya hemos hablado en otros artículos de esta sección, un aspecto importante es el diseño y construcción del puzzle en materiales diversos (cartón, panel, cartón, pluma, acetato, etc.).Este aspecto puede ser tratado en colaboración con los compañeros de Tecnología, ya que puede representar un atractivo proyecto para cualquier curso.

Una de las primeras formas de enfrentarse al puzzle es intentar reconstruir el cuadrado a partir de las piezas diseccionadas. Podemos asegurar que si no se tiene alguna solución por delante, este reto es muy complicado y en su desarrollo hay que aplicar muchos procedimientos matemáticos, sobre todo para ir completando ángulos rectos y uniendo longitudes de forma que aparezcan los lados del cuadrado. Y eso a pesar de existir 536 soluciones según comentamos antes. Algunas de esas soluciones podemos verlas a continuación.

 
 
 

En el desarrollo del trabajo es posible utilizar el teorema de Pick para calcular o verificar el área de cada una de las piezas o bien para intentar deducirlo. Recordemos que George Alexander Pick fue un matemático austríaco que nació en Viena en 1859 y murió en un campo de concentración nazi, alrededor de 1943.

El teorema de Pick dice que si un polígono P tiene sus vértices en una cuadrícula entonces su área es A =(1/2)· b + i –1,siendo b el número de puntos de la cuadrícula del borde poligonal e i el número de puntos interiores. Veamos un ejemplo.

La pieza de área 24 unidades cuadradas está representada en la figura siguiente. El número de puntos de la cuadrícula del borde poligonal es 14 y el número de puntos interiores 18.Por tanto:

A =(1/2)· b + i –1 =(1/2)·14 +18 – 1 ==24

 
 

Si se pretende deducir la fórmula de Pick sería interesante mandar construir una tabla con todas las piezas, sus áreas ,el número de puntos del borde poligonal y el número de puntos interiores y a partir de ahí intentar hallar la relación que cumplen.

Se pueden establecer relaciones entre las distintas piezas ordenándolas según su área. Esta actividad, que en el Tangram Chino es casi trivial, en esta ocasión presenta mayor dificultad. Por supuesto es necesario calcular previamente las

áreas utilizando la cuadrícula de la que hablamos al principio.

Como se puede apreciar, entre las piezas hay triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos, por lo que es muy interesante estudiar los ángulos de cada una de las piezas y comprobar, además, cómo se complementan unos con otros.

Se pueden componer figuras poligonales cuyas áreas correspondan a las fracciones del cuadrado con denominador 48 (se pueden obtener todas las fracciones desde 1/48 hasta la unidad).

Es interesante obtener las longitudes de los lados de las piezas, utilizando la figura 2 y considerando el cuadrado de lado unidad. Enseguida aparecerán números irracionales.

Es posible realizar composiciones con un número determinado de piezas de forma que las superficies que se consigan tengan determinadas propiedades numéricas. Antes de comenzar a trabajar con las piezas necesitamos estudiar esas propiedades para saber qué áreas tendrán las figuras resultantes. A continuación ponemos ejemplos de las que conocemos:

• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos que tengan la misma superficie.

• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos escalenos de modo que la superficie de uno sea doble que la del otro.

• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar dos triángulos escalenos de modo que la superficie de uno sea triple que la del otro (el pequeño es un triángulo

escaleno rectángulo).

• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar tres triángulos (A,B y C)de manera que la superficie de C sea triple y la de B sea doble que la de A.

• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar tres polígonos de manera que tengan todos ellos la misma superficie.

• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar cuatro polígonos de manera que tengan la misma superficie.

• Reparte las 14 piezas del Stomachion para formar seis polígonos de manera que tengan todos la misma superficie.

• Si la superficie del cuadrado es de 144 unidades cuadradas, haz las siguientes composiciones:

– Reparte las 14 piezas del puzzle para formar tres polígonos de manera que sus superficies sean tres números múltiplos de 12.

– Reparte las 14 piezas del puzzle para formar cinco triángulos de manera que sus superficies sean cinco números múltiplos de 6.

• Reparte las 14 piezas del puzzle para formar dos cuadrados iguales y un pentágono cóncavo.

Con las piezas del Tangram Chino es posible construir una serie de polígonos convexos y con las piezas del Stomachion ocurre igual. Se pueden construir triángulos, cuadrados, rombos, rectángulos, romboides, trapecios, trapezoides, pentágonos, hexágonos… A continuación tenemos algunas posibilidades.

 
 
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